Barycentre et Point de Lagrange

Publié le par Soft@ge

  

 

    L'attrait de l'astronomie nous vient principalement du fait que les objets qui peuplent l'espace nous semblent aussi simples que les lois qui les mettent en relation. Chacun d'entre nous a au moins regardé le ciel nocturne, observé la lune changer et apprécié la beauté des étoiles. Tout ce ballet de sphères et de petits points nous parle, même si nous n'en connaissons pas la langue. C'est immense, immuable, intemporel, et notre regard  devient le garant d'une certitude de la réalité.

Les autres sciences nous sont souvent moins accessibles. Invisibles particules, chimie du complexe et autres fantômes restent éloignés à jamais de nos sens.

Néanmoins, le billard céleste renferme ses pièges où seuls peuvent tomber et parfois s'en extraire, les esprits les plus curieux et certains audacieux.

Newton, Kepler, Copernic, Galilée et tant d'autres grands esprits ont tracé des chemins dans ce dédale, défrichés les lois du possible et écarté les fantasmes mystiques de l'irrationnel.

 

    Joseph-Louis Lagrange, mathématicien du 18ème siècle, au lieu de chasser les objets du ciel, calcula les points remarquables induits par l'interaction des masses. Ces points sont au nombre de cinq pour chaque couple d'objets.

Le plus simple est le point de libration ou Premier point de Lagrange.

Il se trouve sur l'axe reliant les masses et se définit par l'équilibre des attractions.

Prenons un couple de masses en état d'équilibre dans le temps, cela revient à dire qu'elles sont en orbites mutuelles autour de leur barycentre. Ce dernier, placé lui aussi sur l'axe des masses se trouve facilement, il équilibre le produit de chaque masse par la distance qui l'en sépare.

 

 

Le produit de la distance de A à B par la masse de A est identique au produit de la distance de B à C par la masse de C.

Prenons pour exemple une masse A égale à 2 fois la masse C, une distance AC de 3 unités. Le barycentre se trouve tel que :


Ma * AB = Mc * BC

AB = Mc/Ma * BC

 

Cela nous donne :

AB = 1/2 * BC = BC/2

BC + BC/2 = AC = 3


BC = 2 unités.

AB = 3 – 2 = 1 unité.


Les objets A et C gravitent autour de ce barycentre de façon synchronisé. A et B sont toujours en opposition et conservent la distance AC. Cela ne dépend donc que du rapport des masses concernées et aucunement des lois de l'attraction gravitationnelle.

Le point de Libration se trouve comme le barycentre sur l'axe AC, mais se définit autrement.

La force d'interaction entre les masses, dite loi de Newton se définit par le produit des masses, inversement au carré de la distance qui les séparent :

 

F = Ma*Mc / AC²

 

Pour obtenir des valeurs compatibles avec les unités de mesures usuelles, il faut lui adjoindre une constante de «corrélation» universelle nommée G, mais celle-ci m'interfère en rien dans la démarche du calcul.

 

F = G*Ma*Mc / AC²


 

Le point F se trouve placé tel que la force d'attraction de A soit identique à celle de C.

 

 

Fa = G*Ma / AF²

Fc = G*Mc / FC²

 

AF² * Mc = FC² * Ma

AF + FC = AC

AF = FC * √ (Ma/Mc)

 

Cela nous donne :

AF = FC * √ (2/1)

 

FC + FC√ 2 = 3

FC * ( 1 + √ 2 ) = 3

FC = 3 / (1 + √ 2) = 1,2426... unité.

FA = 3 – 1,2426 = 1,7573... unité.

 

Au point F, un objet ponctuel et de faible masse se trouve à l'équilibre. Il gravite de façon synchronisée avec le couple A et C. Néanmoins s'il s'écarte du secteur de F, il perd sa stabilité et se dirige vers A ou B. En l'occurrence, ce point existe entre la Terre et le Lune et n'abrite rien si ce n'est quelques satellites d'observations.
Ce calcul est une approche simplifiée car elle ne tient pas compte de l'énergie cinétique en F. Nous verrons dans le prochain article comment affiner le résultat.

Il faut surtout retenir que le Premier Point de Lagrange n'est pas la symétrie du barycentre comme on peut parfois le lire sauf si les masses A et C sont identiques et dans ce cas le barycentre et le point de Lagrange sont confondus !

Comme quoi le vide est plein...de points intéressants à visiter !



Mise à jour :

En complément de cet article, j'invite le lecteur à parcourir l'article sur les points de Lagrange et les astéroïdes, publié sur le très bon site de Didier Barthes, un ami de la blogosphère, dont voici le lien :   http://lesetoiles.over-blog.net/article-30081505.html . En vous souhaitant bonne lecture !

Publié dans Astrophysique

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P
nous attendons donc ces calculsCes points de Lagrange existent-ils aussi pour le couple Terre-Lune ?
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S

Tout à fait. Ils existent pour tout couple de masses. Il faut simplement relativiser ce fait par l'éventuel présence d'autres masses proches et influentes qui peuvent décaler, voir détruire ces
points remarquables. Tout est si fragile ici...haut !


P
Intéressant en effet. Sauriez-vous où trouver les coordonnées sphériques cartésiennes des points de Lagrange terrestres L4 et L5 ?
Je laisserai un lien vers votre blog
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S


Merci de votre visite.
Je publierais bientôt un article sur les points L2 et L3, puis L4 et L5. Vous y trouverez les formules généralistes à tout système binaire, il suffira de l'appliquer aux cas particuliers comme
pour le couple Terre-Soleil.



A
Merci pour cet article intéressant. Puis-je me permettre de faire le lien vers la façon dont j'ai traité le premier point de Lagrange, ces points sont en effet singuliers. (http://www.maths-et-physique.net/article-27293888.html)
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S

Avec grand plaisir !
Toutes les approches permettant de diffuser un peu de savoir sont bonnes à prendre, et la qualité de tes articles n'est plus à démontrer.
Au plaisir de te lire de nouveau.
 


C
Cet article est intéressant quoiqu'un peu - beaucoup - obscur face mon esprit trop littéraire...;un peu de vulgarisation serait la bienvenue pour les futurs articles.,mais, RESPECT , c'est du grand Art..
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S

Merci.
Nous touchons là l'eternel problème qui consiste à rendre accessible à tous ce qui n'est pas du domaine de l'évidence. Comment transmettre sans preuve ? La connaissance ne passe que par la
comprehension et non le dogmatisme. Les formules mathématiques, aussi rédhibitoires soient-elles, sont indispensables puisque vérifiables. C'est le dur travail de la vulgarisation !


G
Merci pour cet article fort intéressant... Bon WEJM
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