Lagrange (partie 2)

Publié le par Soft@ge


   Les points de Lagrange sont des localisations de l'espace possédant des caractéristiques particulières. Ils dépendent de l'interaction gravitationnelle entre deux masses et sont spécifiques à chaque couple en fonction de leurs masses propres et de la distance qui les séparent. Ceux du couple Terre-Lune diffèrent par exemple, de ceux du couple Soleil-Terre. Ils sont au nombre de 5, notés de L1 à L5. Le premier est unique, alors que les suivants possèdent des caractéristiques par paire : L2 avec L3, L4 avec L5. Ils ont néanmoins comme point commun à tous, de rester immobiles par rapport aux masses. Comme ces dernières sont à distance constante dans le temps, elles ne conservent cet état stable que par l'effet dynamique de leurs orbites mutuelles. On en déduit donc que les points de Lagrange suivent eux aussi la période orbitale des masses. L'ensemble forme ainsi, sans repère extérieur, une structure figée. Nous verrons plus avant que cela va de prime abord, à l'encontre des lois de Kepler qui stipulent que la période orbitale (T) varie avec la distance ; c'est là l'une des caractéristiques la plus remarquable de ces points.
Afin de rendre le développement du calcul plus facile, tout en restant juste, nous utiliserons un système virtuel, composé de deux masses A et B, de même valeur. Il sera toujours temps de modifier ce paramètre par la suite pour l'appliquer aux situations réelles.
    Le schéma qui suit regroupe tous les éléments qui seront utilisés dans les calculs. On retrouve les masses A et B en bleu, leur parcours orbital T1 autour d'un barycentre équidistant de chacune (puisque qu'elles ont la même masse), les points de Lagrange en rouge et l'orbite qu'ils décrivent.

   Les masses sont en orbite stable, leur attraction mutuelle et compensée par le vecteur d'inertie lié à leur vitesse orbitale. Pour une distance D séparant A et B, chacune décrit un cercle de rayon D/2 autour de leur barycentre : même distance, même vitesse et donc même période (durée) de révolution. Les deux masses restent donc en opposition et dans un repaire non galiléen (inertiel), on peut les considérer comme fixes.

 

Premier Point de Lagrange


   Le point L1, dit point de libration, se situe sur l'axe reliant A et B, de telle manière qu'il subisse autant l'attraction de A que celle de B. A cela s'ajoute généralement sa propre force d'inertie centrifuge. Dans le cas présent, il se trouve au niveau du barycentre et ne peut donc décrire aucune orbite : sa force centrifuge est donc nulle. On peut alors dire que même si sa période T0 est nulle, conservant sa position vis à vis des deux masses, il possède une synchronisation virtuelle avec la période T1 des masses.
   Cet état particulier peut s'appliquer à toute masse positionnée en L1. Si elle est de très faible quantité, elle n'influe en rien la période T1 de A et B. Si sa masse est non négligeable, sa position reste inchangée, mais l'attraction qu'elle exerce alors sur A et B, provoque une réduction de la période T1 par augmentation de leur vitesse pour compenser l'addition de gravité provoquée par la masse au barycentre (en L1).

 

A vide de masse en L1, le binôme AB orbite selon la période T1 définie comme suit :

 

F = Ma*Mb/D²

Ia = Ma*Va²/(D/2)

F = Ia donc Mb/D² = 2V²/D

Va² = Mb/ 2D

Ta = 2pD/2 * 1/Va = p D /Va = p D / ( Mb / 2D) = p D √2D / √Mb

 

Ta = p D √2D / √Mb

Tb = p D √2D / √Ma

Ta = Tb = T1

 

En charge, le point L1 est occupé par une masse Mc. Le binôme AB voit sa période T1 évoluer comme suit :

 

F = Ma*Mb/D² + Ma*Mc/ (D/2)²

Ia = Ma*Va²/(D/2)

F = Ia

Ma* ( Mb/D² + Mc/ (D/2)²) = Ma*V²/(D/2)

Mb/D² + Mc/ (D/2)² = Va²/(D/2)

Va² = (Mb/D² + Mc/ (D/2)²) / (D/2)

 

Ta = 2pD/2 * 1/√ ((Mb/D² + Mc/ (D/2)²) / (D/2))

Tb = 2pD/2 * 1/√ ((Ma/D² + Mc/ (D/2)²) / (D/2))

Ta = Tb = T'

 

On constate rapidement que le calcul devient plus complexe en charge, même s'il peut être réduit. Pour autant, nous pouvons donner des valeurs unitaires à A et B, ainsi qu'à la distance au barycentre D/2 : Ma = Mb = 1 et D = 2 . La constante G n'est pas introduite dans la formule, elle est sans importance dans une application non réelle.

 

Nous retrouvons donc, à vide, une équation simplifiée telle que :

 

Ta = p D √2D / √Mb = 2p√4 /√1 = 4 p .

T1 = Ta = Tb = 4 p .

 

En charge :

 

Ta = 2pD/2 * 1/√ ((Mb/D² + Mc/ (D/2)²) / (D/2)) = 2p / √ (¼ + Mc)

T1' = Ta = Tb = 2p / √ (¼ + Mc)

 

Cette dernière équation nous montre l'influence de la masse en L1 sur la période T1.

On retrouve l'équation à vide si Mc est nulle :

 

T1 = 2p / √ (¼ + 0)

T1 = 2p / √ ¼ = 4 p

 

Si Mc = Ma = Mb, alors T1' = 1,79 p < 2 p . Cela confirme bien que la masse en L1 réduit la période orbitale des masses A et B.


Il est important de rappeler que l'étude du  comportement de 3 corps massifs reste une grande difficulté en dehors de cas particuliers comme celui-ci. Poincaré a d'ailleurs démontré l'impossibilité de définir le comportement de 3 corps dans le temps. De plus amples explications peuvent, à ce sujet, être recherchées à "T
hree-body problem".

 

 

Stabilité du point de libration.


    Sachant qu'une masse en L1 est à l'équilibre entre les forces de gravitation de A et B, un écart infime de cette position sur l'axe AB provoque une accélération dans le sens de l'écart, augmentant l'attraction de A, diminuant celle de B (ou inversement). Cela est vrai pour tous les points de librations réels. Plus généralement, tout écart dans le plan orbital provoque le même effet : quelque soit la direction empreintée par C, elle se trouvera par la rotation orbitale du binôme AB dans leur axe de liaison et subira de ce fait la même accélération que mentionné précédemment. Une déviation de C selon un axe perpendiculaire au plan orbital, maintient l'équidistance de A et B et la résultante peut être suffisante pour ramener C au point de libration. Cela n'est vrai que pour un déplacement dont l'accélération propre est plus faible que la résultante angulaire de Fa et Fb. De plus, tout écart de cet axe modifie l'influence de Fa par rapport à Fb et provoque les mêmes effets que dans le plan des orbites (avec une incidence plus faible).
    En résumé, un objet placé au point L1 ne possède seulement qu'une amplitude de stabilité relative dans un axe perpendiculaire aux orbites des masses. Pour la métaphore, nous pouvons dire que ce point est le sommet d'un cône et que tout objet placé en son sommet subit une chute sauf s'il s'enfonce ou rebondit parfaitement sur la pointe. En réalité, la zone d'auto-stabilisation est un peu plus importante comme nous pouvons le voir dans la description qui suit :
 
 
    Le schéma ci-contre représente le plan perpendiculaire en L1 à l'axe des masses. Dans ce repère inertiel, tout déplacement d'un objet du point de libration en dehors de ce plan, rompt l'équilibre des forces et provoque inexorablement sa chute vers A ou B. Dans le plan, l'objet peut échapper au système binaire si son accélération est supérieure à la résultante des forces exercées par A et B, dans le cas contraire, il retrouve sa position en L1. On peut raisonnablement comprendre que le déplacement dans un plan bi-dimensionnel est infiniment improbable face à l'ensemble des combinaisons de mouvements de l'espace tri-dimensionnel. Le déplacement réel de l'objet dans un repère euclidien n'est pas linéaire, mais décrit une spirale d'échappement ou de collision dépendante de sa vitesse initiale en L1 et de la période orbitale du binôme des masses. (pointillés rouges).

    La trajectoire d'échappement de C est complexe et ne sera pas développée dans cet article. L'intérêt ici est surtout de noter l'incapacité du point L1 de Lagrange à contenir et maintenir une masse quelconque, ne serait-ce que par l'influence gravitationnelle d'autres éléments même lointains. De fait, l'observation des points de librations de tout système binaire n'a jamais révélé la présence de quoi que ce soit. Par contre, l'endroit reste intéressant pour positionner un satellite capable de corriger sa position à moindre frais pour peu qu'il ne s'en écarte pas trop, c'est le cas de SOHO dédié à l'observation solaire (*).
    A ce moment vous allez me dire que le point de libration de la paire Terre-Soleil ne peut se trouver au barycentre puisque les deux masses diffèrent énormément...et vous aurez raison ! Le calcul de L1 est alors un peu plus complexe, nécessitant l'introduction de la force centrifuge. Si le point de libration diffère du barycentre, il doit décrire une orbite synchrone avec le couple de masses, et l'équation se décline ainsi :

                     Fsoleil = Fterre + Inertie >> Fsoleil - Fterre = Inertie

Soit Ma, la masse solaire, Mb celle de la Terre et D la distance qui les séparent, ont peut écrire, en négligeant le barycentre (très proche du centre du Soleil) :

                            GMa/(D-DL1)² - GMb/D² = VL1² * (D-DL1)

Faute de place, je vous passe la décomposition que vous trouverez notamment sur l'excellent site d'Alexandre Moatti. Nous obtenons au final :
                                      DL1 = D * √3 (Mb/3Ma)

Numériquement, en plaçant les masses de la Terre et du Soleil à une distance d'environ 150 000 000 km, on obtient :
                               DL1 = 1.5 * 1011 * √3 (6*1024 / 6*1030)
                                                DL1 = 1.5 * 109

Le point de libration se trouve donc à environ 1/100 de la distance qui nous sépare du Soleil, soit à peu près 4 fois la distance de la Terre à la Lune !

Nous étudierons dans un prochain article les autres points en conservant notre système binaire si particulier.


 (*) Afin de stabiliser au mieux les sondes spatiales (SoHo et ACE) au point de libration, les "orbitologues" leurs font décrire une mini-orbite dans le plan perpendiculaire (surface verte du 2éme schéma). Cela offre, par effet gyroscopique, une garantie de maintien dans la surface de stabilité pour peu que la vitesse orbitale et donc la force centrifuge soit compensée par la résultante angulaire des forces gravitationnelles de la Terre et du Soleil...du grand art !

.

Publié dans Astrophysique

Pour être informé des derniers articles, inscrivez vous :
Commenter cet article
D


Super article... comme toujours
Amicalement



Répondre
S

Merci. Je manque hélas de temps pour continuer la saga des points de Lagrange, trop occupé par d'autres projets pour le moment. Cela ne m'empêche pas de surveiller ton site du coin de l'oeil !


A
Merci Soft@age de m'avoir informé de votre article (désolé de ne pas être revenu plus tôt sur votre blog, mais j'étais un peu pris par la sortie de mon ouvrage). Merci aussi de citer mon blog !... Mais vous traitez de manière beaucoup plus extensive que moi les points de Lagrange. Je ne mentionne que les deux premiers points, vous traitez les cinq points de Lagrange ! Ceci dit, vous vous placez dans votre premier schéma dans un cas très particulier, celui de deux corps de masse égale. L'explication la plus courante des points de Lagrange est dansune situation où un des deux corps orbite autour de l'autre (ex. Terre autour du Soleil), et on cherche à placer le troisième.A PR : oui, on doit pouvoir calculer les points de Lagrange du système Terre-Lune.
Répondre
S

C'est vrai que la configuration à deux masses identiques ne permet pas une description généraliste du problème de Lagrange. Le souci de vouloir simuler une situation simple et compréhensible
du plus grand nombre, alternant avec les multiples descriptions classiques du net, occulte finalement la démarche pour le point L1. Néanmoins cela n'altère pas la
démonstration mathématique du calcul pour les 4 suivants...qui reste à publier.
Ps/ Et puis, la lecture de votre dernier livre occupe aussi une bonne partie de mes soirées !


E
Super compliqué, pour moi, mais vachement interressant.A quand la suite ?
Répondre
S

Bonjour.
La suite viendra bientôt, mais il est possible que d'autres articles dans d'autres domaines soient publiés avant.
De plus, le blog est en restructuration niveau look et facilité d'utilisation, ce qui prend un peu de temps.
Merci en tout cas pour l'interret porté à cet article.


G
encore un exposé de haut vol.... bravo..JM
Répondre
C
Toutes ces démonstrations qui viennent remettre en question ce que j'ai eu tant de mal à comprendre au lycée, parce qu'aussi trop partiellement abordé..mais qui me donnent la vague impression d'apprendre encore.mon fils n'étant pas là pour mon cours particulier, je vais m'y reprendre à 2 fois pour ce nouvel article. Après tout, ne sommes-nous pas tous là pour apprendre des autres ? cathy
Répondre