Labo Gravitation

 

   Nous constatons qu' à vitesse de rotation constante, la déformation de l'axe ACB déplace une partie de la masse relativiste vers la gauche en AC de même valeur que celle en CB' vers la droite (les secteurs en rose). Ces deux segments s'annulent donc mutuellement, ce qui permet de simplifier la représentation du partage des masses. Le secteur condensé (en mauve) peut donc être évalué par la simple détermination de l'angle "e", lui-même proportionnel à la vitesse de rotation de l'axe ACB.

 

Nous allons donc maintenant rechercher la valeur de e.

Soit w, la vitesse angulaire, T la période en secondes et R le rayon (CB) en mètres :

Alors V, la vitesse (m/s) du point B est :      VB = 2 p R / T 

donc, VB / R = 2 p / T  , c'est la vitesse angulaire w.  

Le temps " t " est celui que mets la lumière pour parcourir la distance AB, soit 2 R.

La longueur de l'arc BB' vaut : VB x t  soit : 2 p R / T x 2 R / C    (C est la vitesse de la lumière).

L'angle e en rad se détermine par L / R où L est arcBB'. Nous pouvons donc écrire :

e = (2 p R / T) x (2 R / C) / R  ce qui se réduit en :         e = 4pR / TC

Nous pouvons écrire autrement cette formule puisque T = 2pR / VV est la vitesse orbitale, ce qui donne :

                                                                                     erad = 2 V / C

Cette formule puissante et simple, permet de déterminer la valeur de masse relativiste de tout corps en rotation !

 

 

Détermination du centre de gravité relativiste.

 

Le centre de gravité de la masse condensée se trouve en C2. Il est sur la bissectrice c - arc AB', qui forme un angle e / 2 par rapport à la bissectrice de l'arc C - AB (hémisphère).

Le centre de gravité de la masse étirée se trouve en C1, sur le même axe.

Masse C1 = Masse C2.

Le barycentre C'est donc à distance égale de C1 et C2. C'est le centre de gravité relativiste.

Le calcul de C1 est issu des travaux d'Archimède qui stipulent que le centre de gravité d'un demi disque vaut 4 R/3 p 

  Dans notre application, le demi disque est associé à une portion de même rayon et d'angle e ( de B à B'). Logiquement, si e occupait le demi disque de droite en entier, C1 se confondrait avec C. Il y a donc une proportionnalité linéaire. On en déduit donc que la distance C1C se réduit d'autant , et C2C augmente d'autant, telle que :

L'hémisphère droit est réduit en proportion de eR sur sa valeur totale de pR. Le rapport vaut donc eR / PiR > e / p

C1_C = (4 R / 3p- ( (4 R / 3p) x (e / p ) ) 

C_C2 = (4 R / 3p ) + ( (4 R / 3p) x (e / p ) )

Il s'agit donc simplement d'une translation des barycentres des 2 demi-disques, cela s'applique donc à tout point de l'axe C1_C_C2. On peut donc parfaitement simplifier en décalant le barycentre C de la même valeur, ce qui donne:

C_C' = 4R/3p X e/ ce qui se simplifie en :     RCC'  =   4Re / 3 p2  .

C' est donc le centre de gravité relativiste.

 

Pour généraliser la formule, nous appliquons la valeur calculée de e, ce qui donne :

RCC' = 4R x 2V / 3 p2 x C                    RCC' = R x (8V / 3p2C)

Cette dernière formule est suffisamment généraliste pour s'appliquer à tous corps en rotation sur son axe à la vitesse tangentielle V. 


Interaction du centre de gravité relativiste.

Nous allons désormais déterminer comment est "vu" le centre C' par l'observateur placer en Ob.

Pour cela il faut déterminer le rayon R'. Le rayon R représente la distance "newtonnienne" de Ob à C.
Faisons donc intervenir Pythagore...
On trouve aisément que :

         R'2 = (RObC - RCC'sin e/2)2 + (RCC'Cos e/2)2

La force centripète exercée sur Ob est donc :

                               F = G M1M2 /
R'2

Cette formule parait complexe, mais elle permet d'obtenir la valeur généraliste de l'interaction gravitationnelle entre deux corps. Si e = 0, on retrouve l'équation de Newton et seulement dans ce cas, mais l'objet en orbite ne peut alors que chuter sur le corps attractif (*). Si e ≠ 0, ce qui est le cas de tout corps en orbite stable, l'équation de Newton se fausse, et cela d'autant plus que e augmente. 

(*) Il existe néanmoins un autre cas où e = 0 fournissant une orbite stable, c'est lorsque les rotations sont synchrones. C'est le cas de l'orbite géostationnaire.( Voir lien).

  

 

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