Underground
Bonjour.
Depuis l'article précédent, "speedy Apple" a parcouru 3 420 000 km. Il est temps qu'elle prenne du repos !
Nous avons pu nous rendre compte de 3 situations différentes tout au long des articles de la rubrique "Gravitation".
Le cas de la lune qui se déplace à ..........3694 km/h.
Le cas du sattelite géostationnaire à .....11048 km/h.
Le cas enfin de speedy Apple à ..........28 500 km/h
On constate aisément la progression de la vitesse lorsque l'orbite diminue. C'est logique puisque
V = √2 (GM / D) (*), où M (masse de la terre) est constante, ainsi que G. Donc si D (distance terre-objet) diminue, V augmente. Et inversement.
Imaginons une galerie circulaire creusée profondément sous la croûte terrestre. Par exemple à mi-distance du centre de la terre. Le rayon orbital est alors de 3200 km.
La question évidement est de connaître la vitesse de déplacement de notre pomme historique qui reprend du service. La réponse parait simple et pourtant...
Si nous appliquons nos formules habituelles, on obtient V = 40 260 km/h, et .....
c'est faux !
Pourquoi ?
La réponse première tient du bon sens ; Si la vitesse continuait d'augmenter en diminuant le rayon orbital, elle serait infinie au centre de la terre !
Cela voudrait dire implicitement que la force de gravitation Fg tendrait vers l'infini dans ce cas et dès lors il serait tout à fait probable que le centre de notre planète soit un trou noir. On serait déjà au courant ou plus exactement personne ne serait là pour le savoir !!!
La raison algébrique est simple. Le rayon diminue mais aussi forcément la masse de la sphère incluse dans ce rayon ( en bleu foncé sur le schéma). Sachant que le volume d'une sphère est proportionnel au cube de son rayon et que la force de gravité est inversement proportionnelle au carré de ce même rayon, on comprend que la masse diminue plus vite que le rayon.
Dans notre exemple, la masse M vaut environ 7.5 x 1023, alors que celle de la terre est de
6 x 1024, c'est à dire 8 fois moins.
Reprenons alors notre formule (*) et nous obtenons 14 233 km/h.
Cette réponse est juste en considérant que la densité de la terre (5.5) est homogène.
On pourrait facilement calculer d'autres exemples et en arriver à la conclusion que si la vitesse orbitale tend vers zéro au centre de la terre, c'est que la force Fg tend aussi vers zéro. Conclusion incroyable, notre pomme est alors en apesanteur au centre du globe !
La courbe de gravitation est linéaire et proportionnelle au rayon. Fg / R est constant. Pour la terre cette valeur vaut 1.53 x 10-6 car sa densité est de 5.5 tonnes par m3. Plus généralement on peut dire que cette valeur est donc 2.28 x 10-7 par la densité de l'astre concerné.
Etrangement, je n'ai trouvé aucune référence pour cette valeur universelle dans la littérature alors qu'elle peut s'appliquer pour tout type de corps massif ?
(*) Réduction de Fi = Fg > MaV² / D = GMaM / D² > V² = GMaMD / MaD² > V² = GMb /D > V = √2(GM/D)